Question

【題目】教材呈現(xiàn)：下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容.

猜想

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：

DE∥BC，且DE＝BC．

對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明

證明在△ABC中，

∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，

∴請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整證明過(guò)程，

結(jié)論應(yīng)用：

如圖②在四邊形ABCD中，AD＝BC，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC中點(diǎn)，N是AB中點(diǎn)，MN與BD相交于點(diǎn)Q．

（1）求證：∠PMN＝∠PNM；

（2）若AD＝BC＝4，∠ADB＝90°，∠DBC＝30°，則PQ＝　 　．

Answer 1

【答案】教材呈現(xiàn)：證明見解析；結(jié)論應(yīng)用：（1）證明見解析；（2）．

【解析】

教材呈現(xiàn)：先判斷出△ADE∽△ABC，即可得出緒論；

結(jié)論應(yīng)用：（1）根據(jù)教材呈現(xiàn)中的續(xù)簽，得出PM＝BC，PN＝AD，再利用BC＝AD，即可得出緒論；

（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論判斷出∠MPN＝120°，進(jìn)而求得∠PMN＝∠PNM＝30°，∠EPQ＝30°，再利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論.

教材呈現(xiàn)：

在△ABC中，

∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴DE∥BC，，

即：DE∥BC，DE＝BC，

結(jié)論應(yīng)用：

（1）證明：∵點(diǎn)P，M分別是BD，DC的中點(diǎn)，

∴PM＝BC，

∵點(diǎn)P，N分別是BD，AB的中點(diǎn)，

∴PN＝AD，

∵BC＝AD，

∴PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM；

（2）解：

∵點(diǎn)P，M分別是BD，DC的中點(diǎn)，

∴PM∥BC，

∴∠DPM＝∠DBC＝30°

∵點(diǎn)P，N分別是BD，AB的中點(diǎn)，

∴PN∥AD，

∴PN＝AD＝2，∠DPN＝180°﹣∠ADB＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝120°，

由（1）知，∠PMN＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM＝30°，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥MN于E，如圖：

∴∠NPE＝90°﹣∠PNM＝60°，

∴∠EPQ＝∠DPN﹣∠NPE＝30°，

在中，∴∠PNE＝30°，PN＝2，

∴PE＝PN＝1，

在中，，

故答案為：．