Question

如圖，正三角形ABC的邊長為3+．
（1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；
（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求．

（2）設正方形E′F′P′N′的邊長為x，
∵△ABC為正三角形，
∴AE′=BF′=x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+x+x=3+，
∴x=，即x=3-3，
（沒有分母有理化也對，x≈2.20也正確）

（3）如圖②，連接NE、EP、PN，則∠NEP=90°．
設正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），
它們的面積和為S，則NE=，PE=n．
∴PN²=NE²+PE²=2m²+2n²=2（m²+n²）．
∴S=m²+n²=PN²，
延長PH交ND于點G，則PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN²=PG²+GN²=（m+n）²+（m-n）²．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化簡得m+n=3．
∴S=[3²+（m-n）²]=+（m-n）²
①當（m-n）²=0時，即m=n時，S最�。�
∴S_最小=；
②當（m-n）²最大時，S最大．
即當m最大且n最小時，S最大．
∵m+n=3，
由（2）知，m_最大=3-3．
∴S_最大=[9+（m_最大-n_最小）²]
=[9+（3-3-6+3）²]
=99-54…．
（S_最大≈5.47也正確）
綜上所述，S_最大=99-54，S_最小=．
分析：（1）利用位似圖形的性質，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答圖①所示；
（2）根據正三角形、正方形、直角三角形相關線段之間的關系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長；
（3）設正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），求得面積和的表達式為：S=+（m-n）²，可見S的大小只與m、n的差有關：
①當m=n時，S取得最小值；
②當m最大而n最小時，S取得最大值．m最大n最小的情形見第（1）（2）問．
點評：本題以位似變換為基礎，綜合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形邊角性質等重要知識點，有一定的難度．本題（1）（2）（3）問之間互相關聯，逐級推進，注意發(fā)現并利用好其中的聯系．第（3）問的要點是求出面積和S的表達式，然后針對此表達式進行討論，在求S最大值的過程中，利用了第（1）（2）問的結論．