Question

如圖所示，已知：如圖，AB是⊙O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠BAE=60°，⊙O的半徑為5，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．根據(jù)DE⊥AC，要證明OD⊥DE，只需證明OD∥AE，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等以及等邊對(duì)等角即可證明一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，從而證明兩條直線平行，得到垂直；
（2）連接BD，構(gòu)造直角三角形．能夠發(fā)現(xiàn)該圖中兩個(gè)30度的直角三角形，進(jìn)行計(jì)算．
解答：（1）證明：連接OD；
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°．
∵D是的中點(diǎn)，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∴OD∥AE．
∴∠ODE=180°-∠E=90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接BD；
∵D是的中點(diǎn)，∠BAE=60°，
∴∠1=∠2=30°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴AD=AB×cos∠2=．
∵∠1=30°，
∴DE=AD=．
點(diǎn)評(píng)：掌握證明切線的判定定理：連接圓心和直線與圓的公共點(diǎn)，證明垂直；連接直徑，構(gòu)造直角三角形，也是圓中常見(jiàn)的輔助線之一．