Question

 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

   ，，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，（點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置），拋物線經(jīng)過,兩點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線,

  （1）求該拋物線的解析式；

  （2）聯(lián)結(jié),求四邊形的面積；

  （3）在拋物線上是否存在一點(diǎn),使得的面積等于四邊形的

面積，如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）由題意得：B(0,2),C(2,0),對(duì)稱軸x=3     

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)²+k

∵拋物線拋物線經(jīng)過B(0,2),C(2,0),

∴   2=9a+k

     0=a+k                         

解這個(gè)方程組得：                   

∴a=,k= -

∴y= (x-3)²-  

 ∴拋物線的解析式為y=x²-   

（2）設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N

由圖可知：CD=2

    S_△BCD=CDOB=×2×2=2

    S_△pCD=  CDPN= CD︱P_y︱=×2×=

 

∴S_{四邊形PCBD}= S_△BCD+ S_△pCD=2                     

 (3)假設(shè)存在一點(diǎn)M,使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

即：S_△MCD= S_{四邊形PCBD}

CD︱M_y︱=×

    ︱M_y︱=                                

                                   

又∵點(diǎn)M在拋物線上，

∴︱x²-︱=

∴x²-=±

∴x²-6x+8=±3

∴x²-6x+5=0   或∴x²-6x+11=0

由x²-6x+5=0，得x₁=5,x₂=1

由x²-6x+11=0

∵ b²-4ac=36-44=-8<0

∴此方程無實(shí)根。                           

當(dāng)x₁=5時(shí)，y₁=；當(dāng)x₂=1時(shí)，y₂=

∴存在一點(diǎn)M(5, ),或（1，）使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積