Question

【題目】問題背景：已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，記△ADM的面積為S1 ， △BND的面積為S2 ．

（1）初步嘗試：如圖①，當△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時，則S1S2=；
（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，求S1S2的值；
（3）延伸拓展：當△ABC是等腰三角形時，設∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如圖③，當點D在線段AB上運動時，設AD=a，BD=b，求S1S2的表達式（結(jié)果用a，b和α的三角函數(shù)表示）．
（Ⅱ）如圖④，當點D在BA的延長線上運動時，設AD=a，BD=b，直接寫出S1S2的表達式，不必寫出解答過程．

Answer 1

【答案】
（1）12
（2）

解：如圖2中，設AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，

∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，

∴△AMD∽△BDN，

∴ = ，

∴ = ，

∴xy=8，

∵S1= ADAMsin60°= x，S2= DBsin60°= y，

∴S1S2= x y= xy=12

（3）

解：Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1= ADAMsinα= axsinα，S2= DBBNsinα= bysinα，

∴S1S2= （ab）2sin2α．

Ⅱ如圖4中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1= ADAMsinα= axsinα，S2= DBBNsinα= bysinα，

∴S1S2= （ab）2sin2α．

【解析】解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等邊三角形，
∴S1= 22= ，S2= （4）2=4 ，
∴S1S2=12，
所以答案是12．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．