Question

【題目】在 Rt 中，， ，點 為射線 上一點，連接 ，過點 作線段 的垂線 ，在直線 上，分別在點 的兩側截取與線段 相等的線段 和 ，連接 ，．

（1）當點 在線段 上時（點 不與點 ， 重合），如圖1，

①請你將圖形補充完整；

②線段 ， 所在直線的位置關系為 ，線段 ， 的數量關系為 ；

（2）當點 在線段 的延長線上時，如圖2，

①請你將圖形補充完整；

②在（1）中②問的結論是否仍然成立?如果成立請進行證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見詳解，②垂直、相等；（2）①見詳解，②成立，理由見詳解

【解析】

（1）①D在線段AB上時，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖1中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．
（2）①D在線段AB延長線上時，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖2中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

解：（1）①見圖1所示．

②證明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCF，
∴∠ACD=∠BCF
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．
故答案為：垂直、相等．

（2）①見圖2所示．

②成立．理由如下：
證明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
即∠ACD=∠BCF，
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．