Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c (b，c為常數(shù))的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0，–1)，C的坐標為(4，3)，直角頂點B在第四象限．

(1)如圖，若該拋物線過A，B兩點，求b，c的值；

(2)平移(1)中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q．

①點M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點，當以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，求點M的坐標；

②取BC的中點N，連接NP，BQ．當取最大值時，點Q的坐標為________.

Answer 1

解：(1)由題意，得點B的坐標為(4，–1)．  ∵拋物線過點A(0，–1)，B(4，–1)兩點，

∴解得    

 (2)由(1)得 ．

①∵A的坐標為(0，–1)，C的坐標為(4，3)．

∴直線AC的解析式為：y＝x－1．     

設平移前的拋物線的頂點為P₀，可得(2，1)，且在直線AC上．

∴．                    

∵點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q．

∴PQ =AP₀=2． 

∵PQ為直角邊，M到PQ的距離為2(即為PQ的長)．

由A(0，－1)，B(4，－1)，P₀(2，1)可知：

△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=2．

過點B作直線l₁∥AC，直線l₁與拋物線y＝－x²＋2x－1的交點即為符合條件的點M．

∴可設直線l₁的解析式為：y＝x＋b₁．

又∵點B的坐標為(4，–1)，∴－1＝4＋b₁．解得b₁＝－5．

∴直線l₁的解析式為：y＝x－5．

解方程組得：

∴M₁(4，－1)，M₂(－2，－7)．    

② 點Q的坐標為