Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

（1）證明：過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACKD是平行四邊形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；

（2）解：∵AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
又∵∠AOD和∠BOD為對頂角
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴OA=AC=×4=，OB=BD=×3=，
∴S_△AOB=OA•OB=××=．
分析：（1）首先過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，易得四邊形ACKD是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等，易求得BD²+DK²=BK²，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，繼而證得AC⊥BD；
（2）由AD∥BC，易得△AOD∽COB，根據相似三角形的對應邊成比例，易求得OA，OB的值，繼而求得△AOB的面積．
點評：此題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．此題綜合性較強，難度適中，注意輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．