Question

3．【模型建立】
（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．
求證：△BEC≌△CDA；
【模型應(yīng)用】
（2）①已知直線l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l₁繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45^o至直線l₂，如圖2，求直線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
②如圖3，長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，-6），點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限．若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；
（2）①過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l₂于C，過C作CD⊥y軸于D，根據(jù)△CBD≌△BAO，得出BD=AO=3，CD=OB=4，求得C（-4，7），最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
②根據(jù)△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，-2x+6），分別根據(jù)△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）證明：如圖1，∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠D=∠E\\∠ACD=∠EBC\\ CA=CB\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l₂于C，過C作CD⊥y軸于D，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直線l₁：y=$\frac{4}{3}$x+4中，若y=0，則x=-3；若x=0，則y=4，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴BD=AO=3，CD=OB=4，
∴OD=4+3=7，
∴C（-4，7），
設(shè)l₂的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{7=-4k+b}\\{0=-3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-7}\\{b=-21}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)₂的解析式：y=-7x-21；

②D（4，-2），（$\frac{20}{3}，-\frac{22}{3}$）．
理由：當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，
設(shè)D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF=AE，
即：12-2x=8-x，
解得x=4，
∴-2x+6=-2，
∴D（4，-2），
此時(shí)，PF=ED=4，CP=6=CB，符合題意；

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，
設(shè)D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x，
同理可得：△ADE≌△DPF，則AE=DF，
即：2x-12=8-x，
解得x=$\frac{20}{3}$，
∴-2x+6=-$\frac{22}{3}$，
∴D（$\frac{20}{3}$，-$\frac{22}{3}$），
此時(shí)，ED=PF=$\frac{20}{3}$，AE=BF=$\frac{4}{3}$，BP=PF-BF=$\frac{16}{3}$＜6，符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，需要考慮的多種情況，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．