Question

已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D是BC或其延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE是△ABC外接圓的一條弦，若∠BAE=∠CAD．求證：AD•AE為定值．

Answer 1

證明：如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)且∠BAE=∠CAD時(shí)，連接BE，
則∠E=∠C，
∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴，
即AD•AE=AB•AC為定值．
如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∠BAE=∠CAD．此時(shí)，∠ACD=∠AEB．
∴△AEB∽△ACD，
∴
即AD•AE=AB•AC為定值．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上或其延長(zhǎng)線上時(shí)，
只要∠CAD=∠BAE，總有AD•AE為定值．
分析：由于題干中D是BC或其延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論；
（1）連BE，可得△ABE∽△ADC，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）當(dāng)其在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣亦可得△AEB∽△ACD，所以當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上或其延長(zhǎng)線上時(shí)，總有AD•AE為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，可先探求定值，當(dāng)AD⊥BC，AE為圓的直徑時(shí)，滿足∠BAE=∠CAD這一條件，不難發(fā)現(xiàn)△ACD∽△AEB，所以AD•AE=AB•AC，因?yàn)橐阎狝B，AC均為定值．再就一般情況分點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上兩種情況分別證明．