Question

（1）已知：P為半徑為5的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過P點(diǎn)最短的弦長為8，則OP=_______；
（2）在（1）的條件下，若⊙O內(nèi)有一異于P點(diǎn)的Q點(diǎn)，過Q點(diǎn)的最短弦長為6，且這兩條弦平行，求PQ的長。
（3）在（1）的條件下，過P點(diǎn)任作弦MN、AB，試比較PM·PN與PA·PB的大小關(guān)系，且寫出比較過程。你能用一句話歸納你的發(fā)現(xiàn)嗎？
（4）在（1）的條件下，過P點(diǎn)的弦CD=，求PC、PD的長。

Answer 1

解：（1）連接OP，過點(diǎn)P作CD⊥OP于點(diǎn)P，連接OD 根據(jù)題意，得CD=8，OD=5 根據(jù)垂徑定理，得PD=4，根據(jù)勾股定理，得OP=3；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)，知O、P、Q三點(diǎn)共線 根據(jù)（1）的求解方法，得OQ=4，則PQ=1或7；
（3）連接AM、BN ∵∠A=∠N，∠M=∠B， ∴△APM∽△NPB ∴ 即PM·PN=PA·PB。
（4）作直徑AB，根據(jù)相交弦定理， 得PC·PD=PA·PB=（5-3）（5+3）=16 又CD= 設(shè)PC=x，則PD=-x 則有x（-x）=16 解，得x=3或x= 即PC=3或 PD=或3。