Question

如圖，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM^ 直線a于點M，CN^ 直線a于點N，連接PM、PN；

(1)延長MP交CN于點E(如圖)．①求證：△BPM@ △CPE；②求證：PM＝PN；

(2)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到下圖的位置時，點B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變．此時PM＝PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時，其它條件不變．請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM＝PN還成立嗎？不必說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)[證明]①如圖，∵BM^ 直線a于點M，CN^ 直線a于點N， 　　∴Ð BMN＝Ð CNM＝90°，∴BM//CN，∴Ð MBP＝Ð ECP， 　　又∵P為BC邊中點，∴BP＝CP，又∵Ð BPM＝Ð CPE，∴△BPM@ △CPE， 　�、凇摺鰾PM@ △CPE，∴PM＝PE，∴PM＝ME，∴在Rt△MNE中，PN＝ME， 　　∴PM＝PN； 　　(2)成立，如圖， 　　[證明]延長MP與NC的延長線相交于點E，∵BM^ 直線a于點M，CN^ 直線a于點N， 　　∴Ð BMN＝Ð CNM＝90°，∴Ð BMN＋Ð CNM＝180°，∴BM//CN，∴Ð MBP＝Ð ECP， 　　又∵P為BC中點，∴BP＝CP，又∵Ð BPM＝Ð CPE，∴△BPM@ △CPE，∴PM＝PE， 　　∴PM＝ME，則在Rt△MNE中，PN＝ME，∴PM＝PN． 　　(3)四邊形MBCN是矩形，PM＝PN成立．