Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝k1x＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝ (x＜0)的圖象相交于點(diǎn)A(－1，2)、點(diǎn)B(－4，n)．

(1)求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△AOB的面積；

(3)在x軸上存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

【解析】分析：(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)求反比例函數(shù)的解析式，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；(2)分別過點(diǎn)A，B用坐標(biāo)軸的平行線構(gòu)造矩形，用圖形面積的和差關(guān)系求三角形AOB的面積；(3)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，直線A′B與x軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P.

詳解：(1)∵反比例的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(—1，2)，

∴＝—1×2＝—2，

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：，

∵反比例的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(—4，n)，

∴—4n＝—2，，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(—4，)，

∵直線經(jīng)過點(diǎn)A(—1，2)，點(diǎn)B(—4，)，

∴，

①—②，得：3，∴，

把代入①，得：b＝，

∴一次函數(shù)表達(dá)式為：．

(2)如圖1所示，分別過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，則四邊形ODFE為矩形，

∵點(diǎn)A(—1，2)，點(diǎn)B(—4，)，

∴OD＝EF＝4，OE＝DF＝2，AE＝1，BD＝，

∴，.

∵點(diǎn)A，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，∴

∴.

(3)如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)△PAB的周長最小，

∵點(diǎn)A′和A(—1，2)關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(—1，—2)，

設(shè)直線A′B的表達(dá)式為

∵經(jīng)過點(diǎn)A′(—1，—2)，點(diǎn)B(—4，)，∴

解得：，.

∴直線A′B的表達(dá)式為：.

當(dāng)y＝0時(shí)，則x＝，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(，0).