Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝2，以邊AB為直徑的⊙O經過點D，且∠DAB＝45°．

 

（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若以C為圓心的⊙C與⊙O 相切，求⊙C的半徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線CD與⊙O相切；（2）－1或＋1

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據平行四邊形的性質可得AB//CD，即得∠DAB＋∠ADC＝180°，從而可以求得∠ADC的度數，再根據圓的基本性質求解即可；

（2）作CE⊥OB，交OB的延長線于點E，連接OC，根據平行四邊形的性質可得AD//BC，即得∠CBE＝∠DAB＝45°，則可得BE＝CE＝1，在Rt△OCE中，根據勾股定理可求得OC的長，即可求得結果.

（1）直線CD與⊙O相切．

連接OD

     

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD.

∴∠DAB＋∠ADC＝180°．

∵∠DAB＝45°，

∴∠ADC＝135°．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠DAO＝45°．

∴∠ODC＝∠ADC－∠ODA＝90°

∴OD⊥CD，

∵OD為⊙O半徑，

∴直線CD與⊙O相切；

（2）作CE⊥OB，交OB的延長線于點E，連接OC

 

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC.

∴∠CBE＝∠DAB＝45°．

∴BE＝CE＝1．

在Rt△OCE中，OC＝＝

∵⊙C與⊙O 相切，

∴⊙C的半徑為－1或＋1．

考點：平行四邊形的性質，圓的基本性質，切線的判定，勾股定理

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.