Question

若兩個(gè)自然數(shù)的差是一個(gè)數(shù)碼相同的兩位數(shù)，它們的積是一個(gè)數(shù)碼相同的三位數(shù)，那么這兩個(gè)自然是

37

和

15

．

Answer 1

分析：數(shù)碼相同的三位數(shù)是111的倍數(shù)，數(shù)碼相同的兩位數(shù)是11的倍數(shù)，對(duì)111分解質(zhì)因數(shù)為111=3×37，兩個(gè)數(shù)的乘積是111的倍數(shù)，再乘以一個(gè)1到9的數(shù)，這個(gè)37是兩個(gè)數(shù)之一，這樣另一個(gè)數(shù)就是3乘以一個(gè)1到9的數(shù)，兩個(gè)自然數(shù)的差是11的倍數(shù)，說明37與另一個(gè)兩數(shù)除以11余數(shù)相同，37除以11余數(shù)是4，3n除以11余數(shù)是4（n代表1～9的任意一個(gè)數(shù)字），只有n=5時(shí)符合條件，由此問題得以解決．

解答：解：設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)分別是a、b，由題意得，
a-b=11n，ab=111m，（m、n代表1～9的任意一個(gè)數(shù)字），
由ab=111m=3×37×m，
可知a=37（或b=37），b=3m（或a=3m），
由a-b=11n，可知a、b被11除的余數(shù)相同，
37除以11余數(shù)是4，3m除以11余數(shù)是4，只有當(dāng)m=5時(shí)成立，因此得出另一個(gè)兩位數(shù)為15．
故答案為37，15．

點(diǎn)評(píng)：此題利用兩個(gè)數(shù)的差與積的數(shù)字特點(diǎn)，巧用分解質(zhì)因數(shù)，結(jié)合數(shù)的整除與有余數(shù)的除法解決問題．