Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，EC平分∠BED．

（1）試判斷△BEC是否為等腰三角形，請說明理由？
（2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC的長；
（3）在原圖中畫△FCE，使它與△BEC關于CE的中點O成中心對稱，此時四邊形BCFE是什么特殊平行四邊形，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△BEC是否為等腰三角形，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠BCE，

∵∠DEC=∠BEC，

∴∠BEC=∠BCE，

∴△BCE是等腰三角形

（2）

解：

∵在Rt△ABE中，∠ABE=45°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴AB=AE=1．

∴BE=，

∴BC=．

（3）

解：四邊形BCFE是菱形，理由如下：

如圖，∵△FCE與△BEC關于CE的中點O成中心對稱，

∴OB=OF，OE=OC，

∴四邊形BCFE是平行四邊形，

又∵BC=BE，

∴四邊形BCFE是菱形．

【解析】（1）易證∠BEC=∠BCE，從而判定△BCE是等腰三角形．
（2）由（1）知BC=BE，而BC是等腰直角△ABE的斜邊，AB=BE，運用勾股定理可求．
（3）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知四邊形BCFE是平行四邊形，又BC=BE，得出BCFE是菱形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解中心對稱及中心對稱圖形的相關知識，掌握如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱；如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形．