Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一個動點，AD、BD分別平分∠BAC和∠ABC，延長AD分別與BC、半圓O交于點F、E，連接BE、CE．
（1）證明：△ABE∽△BFE；
（2）證明：△BDE是等腰直角三角形；
（3）如果四邊形ABEC是梯形，試求∠ABC的大小．

Answer 1

（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE．
又∵∠CAE=∠CBE（同弧所對的圓周角相等），
∴∠CBE=∠BAE．
又∵∠AEB=∠BEF，
∴△ABE∽△BFE．

（2）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠DEB=90°．
又∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠CAE=∠BAE，∠ABD=∠FBD．
又∵∠EDB=∠BAE+∠ABD，
∠EBD=∠CBE+∠FBD
∠CAE=∠CBE（同弧所對的圓周角相等），
∴∠EDB=∠EBD．
∴△BDE是等腰直角三角形．

（3）解：∵四邊形ABEC是梯形，
∴CE∥AB．
∴∠CEA=∠BAE．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE．
又∵∠CEA=∠ABC（同弧所對的圓周角相等），
∴∠CAE=∠BAE=∠ABC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°（即3∠ABC=90°）．
∴∠ABC=30°．
分析：（1）需證明∠CBE=∠BAE，根據(jù)同弧所對的圓周角相等和角平分線的定義可證得；
（2）AB是半圓O的直徑，那么∠DEB=90°，再證明∠EDB=∠EBD即可，可根據(jù)∠EDB=∠BAE+∠ABD，∠EBD=∠CBE+∠FB和（1）的結論證明；
（3）由于四邊形ABEC是梯形，就有CE∥AB，可得∠CEA=∠BAE，可得∠CAE=∠BAE=∠ABC，又∠ACB=90°，∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°（即3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°）．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定、角平分線的定義、圓周角定理等知識點．