Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD切⊙O于點C，且∠DAC=∠BAC．
（1）試說明：AD⊥CD；
（2）若AD=4，AB=6，求AC．

Answer 1

（1）證明：連接OC；
∵CD切⊙O于點C，
∴OC⊥CD，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；

（2）解：連接BC，∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在△ADC與△ACB中，，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
即AC²=AD•AB，
∵AD=4，AB=6，
∴AC==2．
分析：（1）連接OC，根據(jù)CD是⊙O的切線可得OC⊥CD，然后證明CO∥AD即可得證明；
（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似證明△ADC∽△ACB，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可求解．
點評：此題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時也考查了相似三角形在圓中的應(yīng)用和計算，此類題目屬于中等題目，要求學(xué)生具備一定的知識綜合運用能力．