如圖,已知平行四邊形ABCD,過(guò)A作AM⊥BC于M,交BD于E,過(guò)C作CN⊥AD于N,交BD于F,連結(jié)AF、CE.
(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;
(2)當(dāng)AECF為菱形,M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí),求AB:AE的值.
(1)證明:因?yàn)锳E⊥BC,所以∠AMB=900,
因?yàn)镃N⊥AD,所以∠CNA=900.
又因?yàn)锽C‖AD,所以∠BCN=900.
所以AE∥CF,………………………………………………………………………2分
又由平行得∠ADE=∠CBD,又AD=BC,
所以ΔADE≌△BCF,
所以AE=CF,
所以四邊形AECF為平行四邊形.…………………………………………………4分
(2)當(dāng)AECF為菱形時(shí),連結(jié)AC交BF于點(diǎn)0,
則AC與EF互相垂直平分,
又BO=OD,
所以AC與BD互相垂直平分,
所以,四邊形ABCD是菱形,……………………6分
所以AB=BC.
因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),AM⊥BC,
所以,ΔABM≌ΔCAM,
所以,AB=AC,
ΔABC為等邊三角形,
∠ABC=600,∠CBD=300. ………………………………………………………8分
在RtΔBCF中,
CF:BC=tan∠CBF=,
又AE=CF,AB=BC,
所以AB:AE=…………………………………………………………………l0分
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