Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于E，AD⊥EC于D且交⊙O于F．
（1）求證：AD+DF=AB；
（2）若CE=，EB=，求△ADE的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OC，BF，兩直線的交點為N
∵AD⊥EC，OC⊥ED，
∴△BNO∽△BFA，
∴=，
∴AF=2ON，
∵∠BFA=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴四邊形NCDF是個長方形，
∴DF=CN，
AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，
∵OC是半徑，AB是直徑，
∴AD+DF=AB；

（2）解：∵EC是⊙O的切線，CE=，EB=，
∴EC²=EB•AE，
∴AE=，
∴AB=AE-BE=5．
∵AD⊥EC，EC是⊙O的切線，
∴∠ECO=∠EDA=90°
∴△ECO∽△EDA，
∴=，即=，
∴AD=4，
∴在直角△AED中，由勾股定理得到ED===．
則△ADE的面積是：AD•ED=×4×=．
分析：（1）連接OC，BF 兩直線的交點為N，求證△BNO∽△BFA，求證四邊形NCDF是個長方形，然后AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)切割線定理求得AE，再利用△ECO∽△EDA求出AD，再利用勾股定理求出ED，最后由三角形面積公式求解．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，第（1）題中連接OC，BF 兩直線的交點為N，這是證明此題的突破點，此題屬于中檔題．