Question

【題目】如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

(1)求3m+n的值；

(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使以C，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

(3)將該拋物線在x軸上方的部分沿x軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸下方的部分組成一個“M“形狀的新圖象，若直線y＝x+b與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求b的值．

Answer 1

【答案】(1)9；(2)點Q的坐標為(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣．

【解析】

(1)求出B、C的坐標，將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式，即可求解；

(2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分別求解即可；

(3)分兩種情況，分別求解即可．

解：(1)直線y＝x﹣3，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝﹣3，

故點B、C的坐標分別為(3，0)、(0，﹣3)，

將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式得：，解得： ，

則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x﹣3，則點A坐標為(1，0)，頂點P的坐標為(2，1)，

3m+n＝12﹣3＝9；

(2) ①當CP＝CQ時，

C點縱坐標為PQ中點的縱坐標相同為﹣3，

故此時Q點坐標為(2，﹣7)；

②當CP＝PQ時，

∵PC=，

∴點Q的坐標為(2，1﹣)或(2，1+)；

③當CQ＝PQ時，

過該中點與CP垂直的直線方程為：y＝﹣x﹣，

當x＝2時，y＝﹣，即點Q的坐標為(2，﹣)；

故：點Q的坐標為(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；

(3)圖象翻折后的點P對應點P′的坐標為(2，﹣1)，

①在如圖所示的位置時，直線y＝x+b與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，

此時C、P′、B三點共線，b＝﹣3；

②當直線y＝x+b與翻折后的圖象只有一個交點時，

此時，直線y＝x+b與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個公共點；

即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣．

即：b＝﹣3或﹣．