Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EM并延長(zhǎng)交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）如圖1，求證：AE=DF；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G，若ME=MG，求證：BE=CG；

（3）如圖3，若AB=2，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求線段AE長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）∴＜AE≤2．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EAM=∠FDM=90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM（ASA），由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖2，由ME=MG可得△MEG是等腰直角△，再由ME=MF可得△EFG也是等腰直角△，即，；由得，由、、，得△BEG≌△CGF（AAS），得BE=CG；

（3）根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到∠A＝∠ADC＝90°，等量代換得到∠AEM＝∠DMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)求得AE＝，當(dāng)E、B重合時(shí)，AE最長(zhǎng)為2，于是得到結(jié)論．

（1）如圖1,

在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，

∵M是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM，又∠AME=∠FMD，

在△AEM與△DFM中， ，

∴△AEM≌△DFM（ASA），∴AE=DF；

（2）如圖2，

∵ME=MG，MG⊥EF，

∴△MEG是等腰直角△；

同理，△EFG也是等腰直角△，

∴即，，

∴，

∴，

∵、、，

∴△BEG≌△CGF（AAS），

∴BE=CG；

（3）①當(dāng)C、G重合時(shí)，如圖4，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°，

∵MG⊥EF，

∴∠EMG=90°，

∴∠AME+∠DMC=90°，

∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC，

∴，

∴，

∴AE=，

∴＜AE≤．