解:(1)由直線y=-x-3知:A(-3,0)、B(0,-3);
當x=1時,y=-x-3=-4,即 C(1,-4).
將B(0,-3)、C(1,-4)代入y=x
2+bx+c中,得:
,解得
∴拋物線的解析式:y=x
2-2x-3.
(2)①由點A(-3,0)、C(1,-4)得:AF=CF=4,即△AFC是等腰直角三角形,∠FCB=45°;
1、當點P在x軸下方時,∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°;
在Rt△FPH中,設FH=FP=x,則PH=
x,AH=AF+FH=4+x;
由B(0,-3)、C(1,-4)知:BC=
,CF=4;
若△APH∽△HBC,那么
=
,則有:
=
解得:x=
,即 P(1,-
);
2、當點P在x軸上方時,如右圖;
∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°;
設FP=x,則 FH=FP=x,AH=FH-AF=x-4,PH=
x;
同1可得:
=
,有:
=
解得:x=8,即 P(1,8);
綜上,點P的坐標為(1,-
)或(1,8).
②Rt△APE的外接圓圓心為斜邊AP的中點I,取AF的中點Q,那么IQ為△AFP的中位線,
∴IQ∥MN,即IQ∥y軸;
∵點Q(-1,0),∴無論點P如何運動,點I始終在直線x=-1上.
故選C.
分析:(1)首先由直線AC的解析式求出點B、C兩點的坐標,再由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式.
(2)①點A、C的坐標易知,那么容易判斷出∠ACF=45°,這也是方便解題的一個重要條件;從圖中不難看出∠AHP、∠ACF是同角(或等角)的余角,那么必有∠AHP=∠FCB=45°,首先用未知數(shù)設出PF的長,進而由∠AHP的度數(shù)求出PH、AH的長,若△AHP、△FCB相似,通過得到的比例線段列式求出這個未知數(shù)的值,由此確定點P的坐標(注意要分點P在x軸上方和下方兩種情況討論);
②在Rt△APE中,它的外心I始終是AP的中點,若取AF的中點為Q,那么IQ為△APH的中位線,換句話說無論點P如何運動,IQ始終與PH平行,即點I始終在一條平行于y軸的直線上,可根據(jù)這個思路來解答題目.
點評:此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的外接圓等相關(guān)知識點;(2)①較難,能夠應用含有特殊度數(shù)的∠FCB是解答題目的關(guān)鍵.