Question

（2013•本溪）如圖，點(diǎn)B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，以O(shè)B₁為一邊，構(gòu)造等邊△OB₁A₁（點(diǎn)O，B₁，A₁按逆時(shí)針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)B₂是△OB₁A₁的兩條中線的交點(diǎn)，再以O(shè)B₂為一邊，構(gòu)造等邊△OB₂A₂（點(diǎn)O，B₂，A₂按逆時(shí)針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當(dāng)?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合時(shí)，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是

1

310

．

Answer 1

分析：由于點(diǎn)B₁是△OBA兩條中線的交點(diǎn)，則點(diǎn)B₁是△OBA的重心，而△OBA是等邊三角形，所以點(diǎn)B₁也是△OBA的內(nèi)心，∠BOB₁=30°，∠A₁OB=90°，由于每構(gòu)造一次三角形，OB_i 邊與OB邊的夾角增加30°，所以還需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合；又因?yàn)槿我鈨蓚�(gè)等邊三角形都相似，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，由△OB₁A₁與△OBA的面積比為

1

3

，求得構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積．

解答：解：∵點(diǎn)B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B₁是△OBA的重心，也是內(nèi)心，
∴∠BOB₁=30°，
∵△OB₁A₁是等邊三角形，
∴∠A₁OB=60°+30°=90°，
∵每構(gòu)造一次三角形，OB_i 邊與OB邊的夾角增加30°，
∴還需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合，
∴構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形為等邊△OB₁₀A₁₀．
如圖，過點(diǎn)B₁作B₁M⊥OB于點(diǎn)M，
∵cos∠B₁OM=cos30°=

OM

OB1

=

3

2

，
∴

OB

OB1

=

2OM

OB1

=

2 3

2

=

3

，即

OB1

OB

=

1

3

，
∴

S△OB1A1

S△OBA

=（

OB1

OB

）²=

1

3

，即S_△OB1A1=

1

3

S_△OBA=

1

3

，
同理，可得

S△OB2A2

S△OB1A1

=（

OB2

OB1

）²=

1

3

，即S_△OB2A2=

1

3

S_△OB1A1=（

1

3

）²=

1

32

，
…，
∴S_△OB10A10=

1

3

S_△OB9A9=（

1

3

）¹⁰=

1

310

，即構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是

1

310

．
故答案為

1

310

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定難度．根據(jù)條件判斷構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形為等邊△OB₁₀A₁₀及利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出△OB₁A₁與△OBA的面積比為

1

3

，進(jìn)而總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．