Question

如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BN=PC．其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．

1個(gè)

B．

2個(gè)

C．

3個(gè)

D．

4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：

相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．

分析：

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；

先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②正確；

先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；

當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點(diǎn)，得出BN=PB=PC，判斷④正確．

解答：

解：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正確；

②在△ABM與△ACN中，

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，正確；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，

∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形，正確；

④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∵CN⊥AB于點(diǎn)N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∴BN=CN，

∵P為BC邊的中點(diǎn)，

∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正確．

故選D．

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．