Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM周長最小時，求點M的坐標及△ACM的最小周長．

Answer 1

1）y=x²-x-2；（, -）；（2）△ABC是直角三角形；（3），△ACM最小周長是.

【解析】（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x² + bx-2上，∴× （-1 ）² + b× （-1） –2 = 0，解得

b =，∴拋物線的解析式為y=x²-x-2．

∴y=（x-）²-,∴頂點D的坐標為（, -）．

（2）當x = 0時，y = -2，∴C（0，-2），OC = 2，

當y = 0時，x²-x-2 = 0，  ∴x₁ = -1, x₂ = 4,∴B （4,0），

∴OA = 1，OB = 4，AB = 5，∵AB² = 25，AC² = OA² + OC² = 5，BC² = OC² + OB² = 20，

∴AC² +BC² = AB²，∴△ABC是直角三角形．

（3）點A關于對稱軸的對稱點B， BC交對稱軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MA的值最小，即△ACM周長最小，

可求直線BC的解析式為，∴，△ACM最小周長是.