Question

【題目】為了保護環(huán)境，新農(nóng)村改造過程中需要修建污水處理廠，如圖，、是位于直線小河同側的兩個村莊，村距離小河的距離，村距離小河的距離，經(jīng)測量，現(xiàn)準備在小河邊修建一個污水處理廠．(不考慮河寬)

（1）設，請用含的代數(shù)式表示的長（保留根號）；

（2）為了節(jié)省材料，使得兩村的排污管道最短，求最短的排污管長；

（3）根據(jù)（1）（2）的結果，運用數(shù)形結合思想，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）25米；（3）17

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理即可得到結論；

（2）作點A關于直線MN的對稱點A′，連接A′B交MN于O，此時，OA+OB=OB+OA′的長最短，即點O即為污水處理廠的位置，根據(jù)勾股定理即可得到結論；

（3）由（2）可知，作出圖形，利用最短路徑問題和勾股定理解題，即可得到答案．

解：（1）在中，由勾股定理得：，

在中，由勾股定理得：，

∴．

（2）作點關于對稱點為，可以得到，．

根據(jù)兩點之間線段最短可以得到，的長度就是最短的排污管．

∵，，

由勾股定理得：．

（3）根據(jù)(2)的結果，先作對稱點，把問題轉化到求最短距離問題．如圖：

設BD=2，AC=6，CD=15，設OC=a，則OD=15-a，

根據(jù)勾股定理得，AO+OB=，

此時，

當A、O、B′三點共線時，OA+OB的值最小，

∴的值最小，即的長度；

∴最小值為：；

∴的最小值為17.