Question

【題目】已知如圖，在以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且平行于軸，，

求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；

若為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在直線(xiàn)使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與的長(zhǎng)恒相等？若存在，求出此時(shí)的值；

如圖，若、為上述拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析;(3)2.

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo),可得c=-1,然后根據(jù)AO=2CO,可得出點(diǎn)A坐標(biāo),將點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出b值,即可得出函數(shù)解析式;
(2)假設(shè)存在直線(xiàn)l使得點(diǎn)D到直線(xiàn)l的距離與OD的長(zhǎng)恒相等,設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo),分別求出OD和點(diǎn)D到直線(xiàn)l的距離,然后列出等式求出t的值;
(3)作EN⊥直線(xiàn)l于點(diǎn)G,FH⊥直線(xiàn)l于點(diǎn)H,設(shè)出點(diǎn)E、F坐標(biāo),表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo),根據(jù)(2)中得出的結(jié)果,代入結(jié)果求出M縱坐標(biāo)的最小值.

∵，
∴，
又∵，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入得：，
解得：，
∴解析式為：；

假設(shè)存在直線(xiàn)使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與的長(zhǎng)恒相等，
設(shè)，
則，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與的長(zhǎng)恒相等；

作直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)于點(diǎn)，

設(shè)，，
則，，
∵為中點(diǎn)，
∴縱坐標(biāo)為：，
由得：，，
∴，
要使縱坐標(biāo)最小，即最小，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為，
∴縱坐標(biāo)最小值為．