Question

如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT平分∠BAD交⊙O于點T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點C．

（1）求證：CT為⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理．

分析：（1）連接OT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線；

（2）證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：連接OT，

∵OA=OT，

∴∠OAT=∠OTA，

又∵AT平分∠BAD，

∴∠DAT=∠OAT，

∴∠DAT=∠OTA，

∴OT∥AC，（3分）

又∵CT⊥AC，

∴CT⊥OT，

∴CT為⊙O的切線；（5分）

（2）解：過O作OE⊥AD于E，則E為AD中點，

又∵CT⊥AC，

∴OE∥CT，

∴四邊形OTCE為矩形，（7分）

∵CT=，

∴OE=，

又∵OA=2，

∴在Rt△OAE中，，

∴AD=2AE=2．（10分）

點評：本題主要考查了切線的判定以及性質(zhì)，證明切線時可以利用切線的判定定理把問題轉(zhuǎn)化為證明垂直的問題．