Question

如圖所示，AB是直徑，弦于點，且交于點，若．

（1）判斷直線和的位置關(guān)系，并給出證明；

（2）當時，求的長．

Answer 1

（1）直線BD和⊙O相切；理由見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為同弧所對的圓周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°所以則有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直與AB，所以BD為切線．

（2）連接AC，由于AB為直徑，所以AC和BC垂直，又有（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可有勾股定理求出，所以根據(jù)對應(yīng)線段成比例求出BD．

試題解析：（1）直線BD和⊙O相切

∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB

∵OD⊥BC

∴∠DBC+∠ODB=90°

∴∠DBC+∠ABC=90°

∴∠DBO=90°

∴直線BD和⊙O相切．

（2）連接AC

∵AB是直徑

∴∠ACB=90°

在Rt△ABC中，AB=10，BC=8

∴AC=

∵直徑AB=10

∴OB=5．

由（1），BD和⊙O相切

∴∠OBD=90°

∴∠ACB=∠OBD=90°

由（1）得∠ABC=∠ODB，

∴△ABC∽△ODB

∴

∴，

解得BD=

考點：1.圓的切線的性質(zhì)定理的證明；2.圓的切線的判定定理的證明．