Question

如圖，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)D，E分別是線段AC，OC上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）求直線AC的解析式；

（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)以O(shè)、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求經(jīng)過O、D、E三點(diǎn)的拋物線的解析式(只需求出一條即可).

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，

∴A（0，3），C（4，0）.

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，

得：4k+3=0，k=.

∴直線AC：y=x+3.

（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F，H，

則有△ADF∽△DCH∽△ACO.

∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，

而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，

∴FD=，AF=，DH=，HC=.

∴D（，）.

∵CE= t,

∴OE=OC-CE=4- t.

  ∴E（4-t，0）.

（3）當(dāng)DO⊥DE時(shí)，

∠DOH=∠EDH .

∵tan∠DOH=tan∠EDH，

∴     即

∵DH=，OH=FD=，EH=CH－CE=，

∴（）²=（）· .

即：19t²－34t+15=0 .

t₁=1，     t₂= .

①當(dāng)t=1時(shí)，  D（），  E（3，0）.

設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，

   代入D、E坐標(biāo)  解得 a=，b= .

∴y= .  

②當(dāng)t=時(shí)，同理可得  y= .

以上①、②解出一種即可.