Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q是線段OB上一動點(diǎn)，當(dāng)△BPQ與△BAC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9；（3）Q的坐標(biāo)或.

【解析】

（1）將A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可；

（2）四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC＝1+3+5＝9；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BCA，②當(dāng)△BQP∽△BCA．

解：（1）由已知得，

解得

所以，拋物線的解析式為；

（2）∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，如下圖，連接BC，與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC＝BC，

∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，

∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；

∴在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9；

（3）如上圖，設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，

直線BC：，

由二次函數(shù)可得，對稱軸直線，

∴，

①當(dāng)△BPQ∽△BCA，

，

，

，

，

②當(dāng)△BQP∽△BCA，

，

，

，

，

，

綜上，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)或