Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，使．

①求點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；

②在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，3；②存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求出AC的長度，進(jìn)而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入函數(shù)解析式即可得出答案；

（2）①先求出直線AB的解析式，設(shè)，并寫出，根據(jù)“”求出x的值，再利用割補(bǔ)法求出面積；②設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式分別求出AB、BM和AM的長度，再分情況進(jìn)行討論(i)當(dāng)時(shí)，(ii)當(dāng)時(shí)，(iii)當(dāng)時(shí)，并利用勾股定理求出y的值.

解：（1），

，

，

，

，

中，，

，

，

，

，

把代入得

，

解得，

∴拋物線的解析式為；

(2)①

的解析式為，

設(shè)，則，

，

，

解得，（舍去）或-1，

在中，當(dāng)時(shí)，y=4

，

②存在．

在直線上，且，

設(shè)，

，

，

，

分三種情況：

(i)當(dāng)時(shí)，有，

，

解得，

或；

(ii)當(dāng)時(shí)，有，

，

解得；

，

(iii)當(dāng)時(shí)，有，

，

解得；

，

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；