Question

如圖，一只螞蟻從圓錐底面的A點出發(fā)，沿側面繞行一周后到達母線SA的中點M．螞蟻沿怎樣的路徑行走最合算？為了解決這一問題，愛動腦筋的銀銀、慧慧與樂樂展開了研究．

(1)善于表現的銀銀首先列出了一組數據：圓錐底面半徑r＝10 cm，母線SA長為40 cm，就這組數據，請你求出螞蟻所走的最短路程；

(2)一向穩(wěn)重的慧慧只給出一個數據：圓錐的錐角等于60°(如圖)，請問：螞蟻如何行走最合算？

(3)通過(1)、(2)的計算與歸納，銀銀、慧慧自認為他們已找到問題的解決方法，可老謀深算的樂樂認為他們考慮欠周，

①請你分析，樂樂為什么認為他們考慮欠周？

②結合上面的研究，請你給出這一問題的一般性解法．

Answer 1

答案：
解析：

(1)圓心角α＝90°，螞蟻所走的最短路程為20 cm；……………………4分 　　(2)圓心角α＝180°，螞蟻由A沿母線AS到達頂點S，繞點S旋轉一周后按原路返回到母線的中點M．…………………………………………8分 　　(3)①分類不周全；………………………………………………9分 　�、诜秩�種情形： 　　(Ⅰ)當扇形的圓心角0°＜α＜180°時(如圖)，A是最短路徑；………………10分 　　(Ⅱ)當圓錐的錐角等于60°時，圓錐的側面展開圖是一個半圓面(α＝180°)(如圖)，對于這種情形，最短路徑還可以認為是圖中線段A＝AS＋S．……………………………11分 　　(Ⅲ)但是，當圓錐的錐角大于60°時，圓錐的側面展開圖是一個大于半圓面的扇形(如圖)，此時，螞蟻的最短路徑應該是折線AS＋S，也可以認為是AS＋SM，我們可以這樣理解，這種路徑就是螞蟻由A沿母線AS到達頂點S，繞點S旋轉一周后按原路返回到母線的中點M．…………………12分