Question

【題目】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，AB＝9，AD＝18，M，N是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN＝3，則OM+ON最小值＝___．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

通過作圖得到平行四邊形MNQP，由平行四邊形MNQP的性質(zhì)得到OM+ON＝QN+ON，從而得到當(dāng)O，N，Q在同一直線上時(shí)，OM+ON最小，即OM+ON＝OQ；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到OP長度，最后根據(jù)勾股定理得到OQ的值，從而得到答案.

如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PM，將MP沿著MN的方向平移MN長的距離，得到NQ，連接PQ，

則四邊形MNQP是平行四邊形，

∴MN＝PQ＝3，PM＝NQ＝MO，

∴OM+ON＝QN+ON，

當(dāng)O，N，Q在同一直線上時(shí)，OM+ON的最小值等于OQ長，

連接PO，交BC于E，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得BC垂直平分OP，

又∵矩形ABCD中，OB＝OC，

∴E是BC的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE＝AB＝4.5，

∴OP＝2×4.5＝9，

又∵PQ∥MN，

∴PQ⊥OP，

∴Rt△OPQ中，OQ＝＝＝3，

∴OM+ON的最小值是3，

故答案為：3．