Question

已知：二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m為實數(shù)．
（1）求證：不論m取何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒數(shù)和為，求這個二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】分析：判斷二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3與x軸的交點情況，需要把問題轉(zhuǎn)化為求方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0的判別式的符號．而已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），相當于已知此方程兩根為x₁，x₂．可運用根與系數(shù)的關(guān)系解題，所求m的值不受限制，結(jié)果有兩個．
解答：解：（1）∵△=b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-2m-3）=4m²-8m+4-4m²+8m+12=16＞0，
∴不論m取何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²-2m-3，
=，
即=，=，
解得m=0或5，
二次函數(shù)解析式為：y=x²+2x-3或y=x²-8x+12．
點評：主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)與一元二次方程根的情況之間的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系的運用．