如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線
上,同時(shí),拋物線
的頂點(diǎn)在拋物線
上,那么,我們稱拋物線
與
關(guān)聯(lián)。
(1)已知拋物線①,判斷下列拋物線②
;③
與已知拋物線①是否關(guān)聯(lián),并說明理由。
(2)拋物線:
,動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,2),將拋物線繞點(diǎn)P(t,2)旋轉(zhuǎn)
得到拋物線
,若拋物線
與
關(guān)聯(lián),求拋物線
的解析式。
(3)A為拋物線:
的頂點(diǎn),B為與拋物線
關(guān)聯(lián)的拋物線頂點(diǎn),是否存在以AB為斜邊的等腰直角
,使其直角頂點(diǎn)C在
軸上,若存在,求出C點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。
(1) ∵拋物線①,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(-1,-2).
經(jīng)驗(yàn)算,點(diǎn)在拋物線②上,不在拋物線③上,所以,拋物線①與拋物線③不是關(guān)
聯(lián)的; 拋物線②
,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(1,2),經(jīng)驗(yàn)算點(diǎn)
在拋物線①上,所以拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的. (3分)
(2)拋物線:
的頂點(diǎn)
的坐標(biāo)為(-1,-2),因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)
的坐標(biāo)為
(t,2),所以點(diǎn)在直線y = 2上,作
關(guān)于
的對(duì)稱點(diǎn)
,分別過點(diǎn)
、
作直線y=2的垂線,垂足為
、
,則
,所以點(diǎn)
的縱坐標(biāo)為6. (1分)
當(dāng)時(shí),
,解之得,
,
.
∴或
. (1分)
2.(1)設(shè)拋物線的拋物線為
.
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線
上,∴
,
.
∴拋物線的解析式為
(1分)
(2)設(shè)拋物線的拋物線為
.
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線
上,∴
,
.
∴拋物線的解析式為
( 1分)
(3)點(diǎn)為
軸上的一動(dòng)點(diǎn),以
為腰作等腰直角△
,令
的坐標(biāo)為
,則點(diǎn)B的坐標(biāo)
分為兩類:
①當(dāng)A,B,C逆時(shí)針分布時(shí),如圖中B點(diǎn),過A、B作y軸的垂線,垂足分別為H、F,則,∴CF=AH=1,BF=CH=c+2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(c+2,c-1).
當(dāng)點(diǎn)B在拋物線:
上時(shí),
,解得c=1. (3分)
②當(dāng)A,B,C順時(shí)針分布時(shí),如圖中點(diǎn),過
作y軸的垂線,垂足為D,同理可得點(diǎn)
的坐標(biāo)為(-c-2,c+1).
當(dāng)點(diǎn)在拋物線
:
上時(shí),
,解得
或
. (2分)
綜上所述,存在三個(gè)符合條件的等腰直角三角形,期中C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
,
. (2分)
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已知拋物線的頂點(diǎn)在拋物線
上,且拋物線在
軸上截得的線段長是
,求
和
的值.
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