Question

Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分別為AC，AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，P從點(diǎn)C開(kāi)始以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，Q從點(diǎn)A開(kāi)始以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)就同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）用t的代數(shù)式分別表示AQ和AP的長(zhǎng)；
（2）設(shè)△APQ的面積為S，
①求△APQ的面積S與t的關(guān)系式；
②當(dāng)t=2s時(shí)，△APQ的面積S是多少？
（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）用t的代數(shù)式分別表示AQ=2t，AP=6-t；
（2）設(shè)△APQ的面積為S，
①根據(jù)三角形的面積公式可知S_△APQ=

1

2

AQ•AP=

1

2

×2t×（6-t）=6t-t²，即S=6t-t²；
②當(dāng)t=2s時(shí)，代入三角形的面積公式即可求值．
（3）①當(dāng)

AQ

AB

=

AP

AC

時(shí)

2t

6

=

6-t

6

，則有t=2.4（s）；
②當(dāng)

AQ

AC

=

AP

AB

時(shí)

2t

6

=

6-t

8

，則有t=

18

11

（s）．

解答：解：（1）用t的代數(shù)式分別表示AQ=2t，AP=6-t；（2分）

（2）設(shè)△APQ的面積為S，
①△APQ的面積S與t的關(guān)系式為：S=

1

2

AQ•AP=

1

2

×2t×（6-t）=6t-t²，即S=6t-t²，
②當(dāng)t=2s時(shí)，△APQ的面積S=

1

2

×AQ•AP=

1

2

×[2×2×（6-2）]=8（cm²）；（6分）

（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
①當(dāng)

AQ

AB

=

AP

AC

時(shí)

2t

6

=

6-t

6

，∴t=2.4（s）；
②當(dāng)

AQ

AC

=

AP

AB

時(shí)

2t

6

=

6-t

8

，∴t=

18

11

（s）；
綜上所述，當(dāng)t為2.4秒或

18

11

時(shí)，
以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，解答此類題目要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題具體分析，鍛煉了學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題的能力．