Question

【題目】已知關(guān)于的方程.

（1）求證：不論為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；

（2）若拋物線與軸交于兩個不同的整數(shù)點，且為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y=x2+4x+3．

【解析】

（1）分別討論當m=0和m≠0的兩種情況，分別對一元一次方程和一元二次方程的根進行判斷；

（2）令y=0，則 mx2+（3m+1）x+3=0，求出兩根，再根據(jù)拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，求出m的值.

解：（1）當m=0時，原方程化為x+3=0，此時方程有實數(shù)根x=-3．

當m≠0時，原方程為一元二次方程．

∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0．

∴此時方程有兩個實數(shù)根．

綜上，不論m為任何實數(shù)時，方程mx2+（3m+1）x+3=0總有實數(shù)根．

（2）∵令y=0，則mx2+（3m+1）x+3=0

解得x1=-3，x2=-．

∵拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，

∴m=1．

∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3．