Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上，且CE=CA．
（1）試求∠DAE的度數(shù)．
（2）如果把題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會改變嗎？
（3）若∠BAC=α°，其它條件與（2）相同，則∠DAE的度數(shù)是多少？

Answer 1

解：（1）因為AB=AC，
所以∠B=∠ACB=30°，
因為BA=BD，所以，∠BAD=∠BDA=75°，
所以∠DAC=45°，
又有CA=CE，
所以∠E=∠CAE=15°，
所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°；

（2）不改變；令∠B=x°，BA=BD，
所以∠BAD=∠BDA==90°-x°，
∠ACB=180°-∠ACE=∠B+∠BAC，得∠ACB=60°-x°，
所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=30°+x°，
又因為CA=CE，
所以∠E=∠CAE=30°-x°，
所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°

（3）α°．
設(shè)∠B=x°，
∵BA=BD，
所以∠BAD=∠BDA=90°-x°，∠ACB=180°-x°-α°，
所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+x°+α°，
又因為CA=CE，
所以∠E=∠CAE=90°-x°-α°，
所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=α°
分析：（1）要求∠DAE的度數(shù)，只要求出∠DAC+∠CAE的度數(shù)．∠DAC=∠BAC-∠BAD．只要求出∠BAD的度數(shù)，∠BAD=（180°-∠B），而∠B=（180°-∠BAC），而∠CAE的度數(shù)，∵CE=CA∴∠E=∠CAE，利用三角形外角性質(zhì)得，∠CAE=∠ACB；而∠ACB=（180°-∠BAC）；
（2）設(shè)∠B=x°，等腰三角形的性質(zhì)得，∠BAD=∠BDA=90°-x°，三角形的內(nèi)角和定理得，∠ACB=60°-x，所以，∠DAC=∠ADB-∠ACD=30°+x°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠E=∠CAE=30°-x°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°
（3）設(shè)∠B=x°，等腰三角形的性質(zhì)得，∠BAD=∠BDA=90°-x°，三角形的內(nèi)角和定理得，∠ACB=180°-x°-α°，所以，∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+x°+α°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠E=∠CAE=90°-x°-α°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=α°
點評：考查等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)等知識．多次利用外角的性質(zhì)得到角之間的關(guān)系式正確解答本題的關(guān)鍵．