如圖,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),將直角三角板繞點D按逆時針方向旋轉。
(1)在圖①中,DE交AB于M,DF交BC于N。
①證明:DM=DN;
②在這一旋轉過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積;
(2)繼續(xù)旋轉至如圖②的位置,延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由;
(3)繼續(xù)旋轉至如圖③的位置,延長FD交BC于N,延長ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?請寫出結論,不用證明。
解:(1)①證明:連結DB。在Rt△ABC中,∵AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC=AD ∠BDC=90° ∠ABD=∠C=45°
∵∠DMB+∠DNB=180°, ∴∠DMB=∠DNC
∴△BMD≌△CND ∴DM=DN
②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化。
由①知△BMD≌△CND, ∴S△BMD= S△CND
∴S四邊形DMBN= S△DBN+ S△BMD= S△DNB+ S△DNC= S△DBC=
(2)DM=DN仍然成立。
證明:連結DB,在Rt△ABC中, ∵AB=BC,BD=DC,
∴∠DBM=∠DCN=135° ∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,
∴∠CDN=BDM ∴△CDN≌△BDM
∴DM=DN。
(3)DM=DN
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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