如圖,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),將直角三角板繞點D按逆時針方向旋轉。

   (1)在圖①中,DE交AB于M,DF交BC于N。

        ①證明:DM=DN;

②在這一旋轉過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積;

   (2)繼續(xù)旋轉至如圖②的位置,延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由;

   (3)繼續(xù)旋轉至如圖③的位置,延長FD交BC于N,延長ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?請寫出結論,不用證明。

       

解:(1)①證明:連結DB。在Rt△ABC中,∵AB=BC,AD=DC,

∴DB=DC=AD   ∠BDC=90°   ∠ABD=∠C=45°

∵∠DMB+∠DNB=180°,  ∴∠DMB=∠DNC

∴△BMD≌△CND    ∴DM=DN

②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化。

由①知△BMD≌△CND,  ∴SBMD= SCND   

∴S四邊形DMBN= SDBN+ SBMD= SDNB+ SDNC= SDBC=

(2)DM=DN仍然成立。

證明:連結DB,在Rt△ABC中,  ∵AB=BC,BD=DC,

∴∠DBM=∠DCN=135°   ∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,

∴∠CDN=BDM   ∴△CDN≌△BDM

∴DM=DN。

(3)DM=DN

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