Question

如圖，在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝3， AC ＝4，動點 E (與點 A ， C 不重合)在 AC 邊上， EF ∥ AB 交 BC 于 F 點．（12分）

（1）當△ ECF 的面積與四邊形 EABF 的面積相等時，求 CE 的長；

（2）當△ ECF 的周長與四邊形 EABF 的周長相等時，求 CE 的長；

（3）試問在 AB 上是否存在點 P ，使得△ EFP 為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出 EF 的長．

Answer 1

（1）2；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）因為EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題；

（2）根據(jù)周長相等，建立等量關(guān)系，列方程解答；

（3）先畫出圖形，根據(jù)圖形猜想P點可能的位置，再找到相似三角形，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．

試題解析：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等

∴S△ECF：S△ACB=1：2

又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB

∵AC=4，

∴CE=2；

（2）設(shè)CE的長為x

∵△ECF∽△ACB

∴

∴CF=

由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等，

得x+EF+=（4-x）+5+（3-）+EF

解得x=

∴CE的長為；

（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：

①如圖1，假設(shè)∠PEF=90°，EP=EF

由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°

∴Rt△ACB斜邊AB上高CD=

設(shè)EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

即

解得x=，

即EF=

當∠EFP=90°，EF=FP′時，同理可得EF=；

②如圖2，假設(shè)∠EPF=90°，PE=PF時，點P到EF的距離為EF

設(shè)EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

，

即

解得x=，

即EF=.

綜上所述，在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形，此時EF=或EF=.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．