Question

（2013•錫山區(qū)一模）如圖，已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對(duì)角線OB、AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，且OB•AC=160，有下列四個(gè)結(jié)論：
①雙曲線的解析式為y=

40

x

（x＞0）；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，8）；③sin∠COA=

4

5

；④AC+OB=12

5

．其中正確的結(jié)論有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）可求出CF的長(zhǎng)，由勾股定理可求出OF的長(zhǎng)，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)角線OB、AC相交于D點(diǎn)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出雙曲線y=

k

x

（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；由sin∠COA=

CF

OC

可求出∠COA的正弦值；根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出AC的長(zhǎng)，由OB•AC=160即可求出OB的長(zhǎng)．

解答：解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵OB•AC=160，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
∴OA•CF=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80，菱形OABC的邊長(zhǎng)為10，
∴CF=

80

OA

=

80

10

=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=

OC2-CF2

=

102-82

=6，
∴C（6，8），
∵點(diǎn)D時(shí)線段AC的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

10+6

2

，

8

2

），即（8，4），
∵雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，
∴4=

k

8

，即k=32，
∴雙曲線的解析式為：y=

32

x

（x＞0），故①錯(cuò)誤；
∵CF=8，
∴直線CB的解析式為y=8，
∴

y= 32 x y=8

，解得x=4，y=8，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），故②錯(cuò)誤；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=

CF

OC

=

8

10

=

4

5

，故③正確；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=

(10-6)2+(0-8)2

=4

5

，
∵OB•AC=160，
∴OB=

160

AC

=

160

4 5

=8

5

，
∴AC+OB=4

5

+8

5

=12

5

，故④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等相關(guān)知識(shí)，難度適中．