Question

如圖，定義：若雙曲線y＝(k＞0)與它的其中一條對稱軸y＝x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y＝(k＞0)的對徑．

(1)求雙曲線y＝的對徑；

(2)若雙曲線y＝(k＞0)的對徑是10，求k的值；

(3)仿照上述定義，定義雙曲線y＝(k＜0)的對徑．

Answer 1

答案：
解析：

分析：過A點作AC⊥x軸于C， 　　(1)先解方程組，可得到A點坐標為(1，1)，B點坐標為(－1，－1)，即OC＝AC＝1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，則AB＝2OA＝2，于是得到雙曲線y＝的對徑； 　　(2)根據雙曲線的對徑的定義得到當雙曲線的對徑為10，即AB＝10，OA＝5，根據OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點A坐標為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線y＝(k＞0)即可得到k的值； 　　(3)雙曲線y＝(k＜0)的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據題目中的定義易得到雙曲線y＝(k＜0)的對徑． 　　解答：解：過A點作AC⊥x軸于C，如圖， 　　(1)解方程組，得，， 　　∴A點坐標為(1，1)，B點坐標為(－1，－1)， 　　∴OC＝AC＝1， 　　∴OA＝OC＝， 　　∴AB＝2OA＝2， 　　∴雙曲線y＝的對徑是2； 　　(2)∵雙曲線的對徑為10，即AB＝10，OA＝5， 　　∴OA＝OC＝AC， 　　∴OC＝AC＝5， 　　∴點A坐標為(5，5)， 　　把A(5，5)代入雙曲線y＝(k＞0)得k＝5×5＝25， 　　即k的值為25； 　　(3)若雙曲線y＝(k＜0)與它的其中一條對稱軸y＝－x相交于A、B兩點， 　　則線段AB的長稱為雙曲線y＝(k＞0)的對徑． 　　點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍；強化理解能力．

提示：

考點：反比例函數綜合題．