Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形AOCD的頂點A的坐標(biāo)是（0，4），現(xiàn)有兩動點P，Q，點P從點O出發(fā)沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度勻速向點C運動，點Q從點C出發(fā)沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動．點P，Q同時出發(fā)，同時停止，設(shè)運動時間為t（秒），當(dāng)t=2（秒）時，PQ=2．

（1）求點D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍．X|k | B | 1 . c  |O |m

（2）連接AQ并延長交x軸于點E，把AE沿AD翻折交CD延長線于點F，連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值．

（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？

Answer 1

（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，（2分）

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

點P到達終點所需時間為=4秒，點Q到達終點所需時間為=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4．（4分）

（2）結(jié)論：△AEF的面積S不變化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，（5分）

∴，即，解得CE=．

由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4﹣t，則CF=CD+DF=8﹣t．（6分）

S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE

=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE

=[4+（8﹣t）]×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）（8分）新|課  |標(biāo)|第  |一| 網(wǎng)

化簡得：S=32為定值．所以△AEF的面積S不變化，S=32．（9分）

（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，（10分）

∴，即，化簡得t²﹣12t+16=0，（11分）

解得：t₁=6+2，t₂=6﹣2，（13分）

由（1）可知，0＜t＜4，∴t₁=6+2不符合題意，舍去．

∴當(dāng)t=（6﹣2）秒時，四邊形APQF是梯形．（14分）