Question

．如圖，隧道的截面由拋物線(xiàn)和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12m，寬是4m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線(xiàn)可以用y=﹣x²+bx+c表示，且拋物線(xiàn)的點(diǎn)C到墻面OB的水平距離為3m時(shí)，到地面OA的距離為m．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；

（2）一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車(chē)道，那么這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)？

（3）在拋物線(xiàn)型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過(guò)8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】（1）先確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，再利用配方法確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D到地面OA的距離；

（2）由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=6，而隧道內(nèi)設(shè)雙向行車(chē)道，車(chē)寬為4m，則貨運(yùn)汽車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），然后計(jì)算自變量為2或10的函數(shù)值，再把函數(shù)值與6進(jìn)行大小比較即可判斷；

（3）拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)值越大，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)之間的距離越小，于是計(jì)算函數(shù)值為8所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得B（0，4），C（3，），

把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x²+bx+c得，

解得．

所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式為y=﹣x²+2x+4，

則y=﹣（x﹣6）²+10，

所以D（6，10），

所以拱頂D到地面OA的距離為10m；

（2）由題意得貨運(yùn)汽車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），

當(dāng)x=2或x=10時(shí)，y=＞6，

所以這輛貨車(chē)能安全通過(guò)；

（3）令y=8，則﹣（x﹣6）²+10=8，解得x₁=6+2，x₂=6﹣2，

則x₁﹣x₂=4，

所以?xún)膳艧舻乃�平距離最小是4m．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，利用二次函數(shù)解決拋物線(xiàn)形的隧道、大橋和拱門(mén)等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線(xiàn)上，從而確定拋物線(xiàn)的解析式，通過(guò)解析式可解決一些測(cè)量問(wèn)題或其他問(wèn)題．