Question

如圖所示，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于點E．求證：∠E＝∠A．

Answer 1

答案：
解析：

證明1：因為∠ACD＝∠A＋∠ABC，CE平分∠ACD，所以∠ECD＝(∠A＋∠ABC)，又因為∠ECD＝∠E＋∠EBC，所以∠E＋∠EBC＝(∠A＋∠ABC)．因為BE平分∠ABC，所以∠EBC＝∠ABC，所以∠E＝∠A． 　　證明2：因為∠E＝－(∠EBC＋∠ACB＋∠ACE)，又因為∠ACD＝∠A＋∠ABC，CE平分∠ACD，所以∠ACE＝(∠A＋∠ABC)，所以∠E＝－(∠ABC＋∠ACB＋∠A)．因為∠A＋∠ABC＋∠ACB＝，所以∠E＝－(－∠A)＝∠A． 　　證明3：如圖所示，作∠BAC的平分線交BE于點M，設BE交AC于點N． 因為CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠ACD． 　　又因為∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，所以∠ACE＝(∠BAC＋∠ABC)．因為AM平分∠BAC，BE平分∠ABC，所以∠ABM＝∠ABC，∠BAM＝∠BAC，所以∠ACE＝∠ABM＋∠BAM．因為∠AME＝∠ABM＋∠BAM，所以∠ACE＝∠AME．因為∠ANM＝∠ENC，所以－(∠ACE＋∠ENC)＝－(∠AME＋∠ANM)，所以∠E＝∠MAN＝∠BAC，即∠E＝∠A． 　　證明4：如圖所示，作CP平分∠ACB，交BE于點P． 因為∠EPC＝∠PBC＋∠PCB，又因為BP，CP是角平分線，所以∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，所以∠EPC＝(∠ABC＋∠ACB)．又因為CE，CP是角平分線，所以∠PCE＝∠PCA＋∠ACE＝(∠BCA＋∠ACD)＝×＝，所以∠EPC＋∠E＝，所以(∠ABC＋∠ACB)＋∠E＝．因為∠A＋∠ABC＋∠ACB＝，所以(－∠A)＋∠E＝，所以∠E＝∠A． 　　證明5：如圖所示，過點E作∠CEF＝∠CEB，設BE交AC于點M． 因為CE平分∠MEF，∠MCF，所以∠MCE＝∠FCE，∠MEC＝∠FEC，所以∠EMC＝∠EFC，所以∠BMC＝∠EFD(等角的補角相等)．又因為∠ABM＋∠A＝∠BMC，∠EBC＝∠BEF＝∠EFD，所以∠ABM＋∠A＝∠EBC＋∠BEF，所以∠A＝∠BEF，所以∠A＝2∠MEC，即∠E＝∠A． 　　解題指導：充分利用題目中所給條件，由BE平分∠ABC、CE平分∠ACD可知，∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ACE＝∠ECD＝∠ACD，再由三角形外角的性質(zhì)易推出結論．