Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊所在直線上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點(diǎn)，連接BF、FG、GB。

證明：△BGF是等腰直角三角形。

Answer 1

（1）如圖1，若點(diǎn)E在BC邊上，

∵EF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AFE=90°。

∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點(diǎn)，∴。

在Rt△ABE中，同理可得。

∴GF=GB�！唷鰾GF為等腰三角形。

又∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。

又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠BGE∠EGF=2（∠BAG∠GAF）=2∠BAC=90°。

∴△BGF為等腰直角三角形。

（3）如圖3，若點(diǎn)E在CB的延長線上，

同（1）可證△BGF為等腰三角形，

∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。

又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠EGF ∠BGE =2（∠GAF ∠BAG）=2∠BAC=90°。

∴△BGF為等腰直角三角形。

綜上所述，△BGF是等腰直角三角形。

【考點(diǎn)】等腰直角三角形的判定，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)。

【分析】分點(diǎn)E在BC邊上，在BC的延長線上，點(diǎn)E在CB的延長線上三種情況證明即可。