Question

7．如圖，線段AB=10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度在線段AB上來(lái)回運(yùn)動(dòng)（從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后，立即原速返回，再次到達(dá)B點(diǎn)后立即調(diào)頭向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．） 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x．
（1）當(dāng)x=3時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)為2．
（2）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)第一次重合時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng)．
（3）是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)Q恰好落在線段AP的中點(diǎn)上？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合圖形，表示出AP、AQ的長(zhǎng)，可得PQ；
（2）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)第一次重合時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程+點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程=AB的長(zhǎng)，列方程可求得；
（3）點(diǎn)Q落在線段AP的中點(diǎn)上有以下三種情況：①點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)未到點(diǎn)A；②點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后，從A到B；
③點(diǎn)Q第一次返回到B后，從B到A，根據(jù)AP=2AQ列方程可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)x=3時(shí)，P、Q位置如下圖所示：

此時(shí)：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB-BQ=10-9=1，
∴PQ=AP-AQ=2；
（2）設(shè)x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x=10 
解得：x=2.5，
∴BQ=3x=7.5；
（3）設(shè)x秒后，點(diǎn)Q恰好落在線段AP的中點(diǎn)上，根據(jù)題意，
①當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)未到點(diǎn)A時(shí)，即0＜x＜$\frac{10}{3}$時(shí)，有 
x=2（10-3x），
解得 $x=\frac{20}{7}$；   
②當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后，從A到B時(shí)，即$\frac{10}{3}$＜x＜$\frac{20}{3}$時(shí)，有
x=2（3x-10），
解得 x=4；  
③當(dāng)點(diǎn)Q第一次返回到B后，從B到A時(shí)，即$\frac{20}{3}$＜x＜10時(shí)，有
x=2（30-3x），
解得 $x=\frac{60}{7}$；
綜上所述：當(dāng)x=$\frac{20}{7}$或x=4或x=$\frac{60}{7}$時(shí)，點(diǎn)Q恰好落在線段AP的中點(diǎn)上．
故答案為：（1）2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)軸、一元一次方程的應(yīng)用，解答（3）題，對(duì)x分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵，屬中檔題．