Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）①當(dāng)t=2.5秒時(shí)，求△CPQ的面積；
②求△CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；
（2）在P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，寫(xiě)出t的值；
（3）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時(shí)，求出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)P，作PD⊥BC于D，利用30度的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得PD的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（2）分PC=QC和PC=QC兩種情況進(jìn)行討論，求解；
（3）PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時(shí)，分為兩圓外切和內(nèi)切兩種情況進(jìn)行討論．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到關(guān)于t的方程，從而求解．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由題意得：AP=2t，則CQ=t，則PC=10-2t
（1）①過(guò)點(diǎn)P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒時(shí)，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=AB=3米，∴S=•QC•PD=3.75平方米；
②過(guò)點(diǎn)Q，作QE⊥PC于點(diǎn)E，
易知Rt△QEC∽R(shí)t△ABC，
∴=，
解得：QE=，
∴S=•PC•QE=•（10-2t）•=-+3t（0＜t≤5）

（2）當(dāng)t=秒（此時(shí)PC=QC），秒（此時(shí)PQ=QC），或秒（此時(shí)PC=PQ）時(shí)，△CPQ為等腰三角形；
∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC===10，
當(dāng)PC=QC時(shí)，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=秒；
當(dāng)PQ=CQ時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC，則CE=，CQ=t，可證△CEQ∽△CBA，故=，即=，解得t=秒；
當(dāng)PC=PQ時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，則CE=，PC=10-2t，可證△PCE∽△ACB，故=，即=，解得t=秒．

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F．
則△PCF∽△ACB
∴==，即==
∴PF=6-，F(xiàn)C=8-
則在直角△PFQ中，PQ²=PF²+FQ²=（6-）²+（8--t）²=t²-56t+100
如圖4，當(dāng)⊙P與⊙Q外切時(shí)，有PQ=PA+QC=3t，此時(shí)PQ²=t²-56t+100=9t²，
整理得：t²+70t-125=0
解得：t₁=15-35，t₂=-15-35＜0（舍去）
故當(dāng)⊙P與⊙Q外切時(shí)，t=（15-35）秒；
當(dāng)⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí)，PQ=PA-QC=t，此時(shí)，
∵PQ²=PF²+FQ²，
∴PQ²=t²-56t+100=t²
整理得：9t²-70t+125=0，解得：t₁=，t₂=5
故當(dāng)⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí)，t=秒或5秒．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及圓和圓的位置關(guān)系，正確把圖形之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段之間的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．